Одна из важнейших математических констант. Основа натурального логарифма, экспоненциального роста и бесконечного множества явлений во вселенной.
Число e — математическая константа, основание натурального логарифма. Его значение приблизительно равно 2.71828. Это иррациональное и трансцендентное число.
Число e возникает как предел выражения (1 + 1/n)^n при стремлении n к бесконечности. Это описывает непрерывный сложный процент при 100% ставке.
Число e можно выразить как бесконечный ряд: e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Сумма обратных факториалов всех неотрицательных целых чисел.
Функция f(x) = e^x — единственная функция, равная своей производной: f'(x) = f(x). Это делает её фундаментальной в математическом анализе.
Число e — трансцендентное: оно не является корнем ни одного многочлена с рациональными коэффициентами. Его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Число e обладает множеством удивительных свойств, которые делают его незаменимым в математике и науке.
Функция e^x равна своей производной — это уникальное свойство среди всех элементарных функций.
d/dx(eˣ) = eˣЛогарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln(x). Это основной логарифм в анализе.
ln(e) = 1Связывает пять фундаментальных констант математики: e, i, π, 1 и 0.
eiπ + 1 = 0Число e связано с числом π через формулу Эйлера и множество других тождеств.
eiθ = cos θ + i sin θЧисло e имеет красивую регулярную цепную дробь, открытую Эйлером.
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...]Число e — единственное положительное число, при котором площадь под кривой 1/x от 1 до e равна 1.
∫1e (1/t) dt = 1Эта формула объединяет пять важнейших чисел математики: e (основание натурального логарифма), i (мнимая единица), π (отношение длины окружности к диаметру), 1 (единица) и 0 (нуль). Её часто называют «самой красивой формулой в математике».
Вычислите e в любой степени или натуральный логарифм.
Визуализация функций ex, ln(x) и их взаимосвязи.
Число e можно вычислить, суммируя обратные факториалы: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Попробуйте добавить больше слагаемых, чтобы приблизиться к точному значению.
| n | Слагаемое (1/n!) | Сумма |
|---|
Оно управляет ростом популяций, разрядом конденсаторов, вероятностями и даже архитектурой арок.
При непрерывном начислении процентов капитал растет по закону e. Если ставка 100%, через год у вас будет e рублей.
Рост бактерий, распространение эпидемий и рост популяций в идеальных условиях описываются экспонентой ekt.
Радиоактивный распад, затухание колебаний и разрядка конденсаторов — всё это экспоненциальный спад.
Вероятность того, что ни одно событие из n независимых не произойдет, стремится к 1/e при n → ∞ (Задача о совпадениях).
Форма свободно висящего кабеля (цепная линия) описывается формулой через cosh(x), который состоит из ex и e-x.
Знаменитая "колоколообразная кривая" в статистике содержит e в своей формуле: e-x²/2.